Операции над комплексными числами

Операции над комплексными числами

Пусть $z_{1} = (x_{1}, y_{1})$ , $z_{2} = (x_{2}, y_{2})$ — два комплексных числа. Определим операции над комплексными числами.

1. Сложение комплексных чисел

z_{1} + z_{2} = (x_{1}, y_{1}) + (x_{2}, y_{2}) = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}) = (x_{1} + x_{2}) + (y_{1} + y_{2}) i (2.1)

2. Вычитание комплексных чисел

z_{1} - z_{2} = (x_{1}, y_{1}) - (x_{2}, y_{2}) = (x_{1} - x_{2}, y_{1} - y_{2}) = (x_{1} - x_{2}) + (y_{1} - y_{2}) i (2.2)

3. Умножение комплексных чисел

z_{1} \cdot z_{2} = (x_{1}, y_{1}) \cdot (x_{2}, y_{2}) = (x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2}, x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1}) = = (x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2}) + (x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1}) i (2.3)

Отсюда получаем два полезных следствия:

1) i^{2} = (0, 1) \cdot (0, 1) = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + (0 \cdot 1 + 0 \cdot 1) i = - 1 + 0 i = - 1

2) z \cdot \overline{z} = (x, y) \cdot (x, - y) = (x^{2} + y^{2}, - x y + x y) = (x^{2} + y^{2}, 0) = x^{2} + y^{2}

4. Комплексное сопряжение

\overline{z} = \overline{x + i y} = x - i y

5. Деление комплексных чисел

\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{z _{1} \cdot z _{2}}{z _{2} \cdot z _{2}} = \frac{( x _{1} , y _{1} ) \cdot ( x _{2} , - y _{2} )}{x _{2}^{2} + y _{2}^{2}} = \frac{( x _{1} x _{2} + y _{1} y _{2} , x _{2} y _{1} - x _{1} y _{2} )}{x _{2}^{2} + y _{2}^{2}} = = (\frac{x _{1} x _{2} + y _{1} y _{2}}{x _{2}^{2} + y _{2}^{2}}, \frac{x _{2} y _{1} - x _{1} y _{2}}{x _{2}^{2} + y _{2}^{2}}) = \frac{x _{1} x _{2} + y _{1} y _{2}}{x _{2}^{2} + y _{2}^{2}} + \frac{x _{2} y _{1} - x _{1} y _{2}}{x _{2}^{2} + y _{2}^{2}} i (2.4)

Разумеется, при этом подразумевается, что $z_{2} \neq = 0$ .

Свойства операций над комплексными числами

Коммутативность: $z_{1} + z_{2} = z_{2} + z_{1}$ , $z_{1} z_{2} = z_{2} z_{1}$
Ассоциативность: $(z_{1} + z_{2}) + z_{3} = z_{1} + (z_{2} + z_{3})$ , $(z_{1} z_{2}) z_{3} = z_{1} (z_{2} z_{3})$
Дистрибутивность: $z_{1} (z_{2} + z_{3}) = z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3}$

Из этих свойств следует, что операции сложения и умножения над комплексными числами $z = x + i y$ обладают такими же свойствами, как если бы число $i$ было действительным.
Поэтому нет нужды запоминать формулы $(2.1) - (2.4)$ . Они получаются формальными преобразованиями над выражениями вида $z = x + i y$ , если учесть, что $i^{2} = - 1$ :

z_{1} + z_{2} = (x_{1} + y_{1} i) + (x_{2} + y_{2} i) = (x_{1} + x_{2}) + (y_{1} + y_{2}) i

z_{1} - z_{2} = (x_{1} + y_{1} i) - (x_{2} + y_{2} i) = (x_{1} - x_{2}) + (y_{1} - y_{2}) i

z_{1} \cdot z_{2} = (x_{1} + y_{1} i) \cdot (x_{2} + y_{2} i) = x_{1} x_{2} + x_{1} y_{2} i + y_{1} x_{2} i + y_{1} y_{2} i^{2} = = x_{1} x_{2} + x_{1} y_{2} i + y_{1} x_{2} i - y_{1} y_{2} = (x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2}) + (x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1}) i

\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{x _{1} + y _{1} i}{x _{2} + y _{2} i} = \frac{( x _{1} + y _{1} i ) ( x _{2} - y _{2} i )}{( x _{2} + y _{2} i ) ( x _{2} - y _{2} i )} = \frac{x _{1} x _{2} - x _{1} y _{2} i + x _{2} y _{1} i - y _{1} y _{2} i ^{2}}{x _{2}^{2} - ( y _{2} i ) ^{2}} = = \frac{x _{1} x _{2} - x _{1} y _{2} i + x _{2} y _{1} i + y _{1} y _{2}}{x _{2}^{2} + y _{2}^{2}} = \frac{( x _{1} x _{2} + y _{1} y _{2} ) + ( x _{2} y _{1} - x _{1} y _{2} ) i}{x _{2}^{2} + y _{2}^{2}} = = \frac{x _{1} x _{2} + y _{1} y _{2}}{x _{2}^{2} + y _{2}^{2}} + \frac{x _{2} y _{1} - x _{1} y _{2}}{x _{2}^{2} + y _{2}^{2}} i

Отметим, что при делении комплексных чисел $z_{1}$ и $z_{2}$ , мы домножили числитель и знаменатель дроби $\frac{z _{1}}{z _{2}}$ на число $\overline{z_{2}}$ , комплексно-сопряженное к знаменателю $z_{2}$ . Так мы избавляемся от комплекснозначности в знаменателе.

Напомним, что такой же трюк используется и при избавлении от иррациональности в знаменателе, как, например, в выражении:

\frac{2 - 1}{2 + 1} = \frac{( 2 - 1 ) ( 2 - 1 )}{( 2 + 1 ) ( 2 - 1 )} = \frac{2 - 2 2 + 1}{2 - 1} = 3 - 22 .

Пример. Пусть $z_{1} = 3 - i$ , $z_{2} = 4 + 2 i$ .
Найти: $1) z_{1} + z_{2}$ , $2) z_{1} - z_{2}$ , $3) z_{1} z_{2}$ , $4) \frac{z _{1}}{z _{2}}$ .

$z_{1} + z_{2} = (3 - i) + (4 + 2 i) = (3 + 4) + (- 1 + 2) i = 7 - i$
$z_{1} - z_{2} = (3 - i) - (4 + 2 i) = (3 - 4) + (- 1 - 2) i = - 1 - 3 i$
$z_{1} z_{2} = (3 - i) (4 + 2 i) = 3 \cdot 4 + 3 \cdot 2 i - 4 i - 2 i^{2} = 12 + 6 i - 4 i + 2 = 14 + 2 i$
$\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{3 - i}{4 + 2 i} = \frac{( 3 - i ) ( 4 - 2 i )}{( 4 + 2 i ) ( 4 - 2 i )} = \frac{12 - 6 i - 4 i + 2 i ^{2}}{4 ^{2} - ( 2 i ) ^{2}} = \frac{12 - 10 i - 2}{16 + 4} = \frac{10 - 10 i}{20} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$

← Определение комплексного числа