ege-task-17

Прямая, проходящая через середину гипотенузы прямоугольного треугольника , перпендикулярна и пересекает катет в точке . При этом .
а) Докажите, что .
б) Пусть прямые и пересекаются в точке , а прямые и — в точке . Найдите , если .

В прямоугольном треугольнике точка лежит на катете , а точка лежит на продолжении катета за точку , причём и .
а) Отрезки и — медианы треугольников и соответственно. Докажите, что прямые и перпендикулярны.
б) Прямые и пересекаются в точке , а прямые и — в точке . Найдите , если , а .

На стороне равностороннего треугольника отмечена точка . Серединный перпендикуляр к отрезку пересекает стороны и в точках и соответственно.
а) Докажите, что треугольники и подобны.
б) Найдите отношение , если площади треугольников и равны и соответственно.

На стороне равностороннего треугольника отмечена точка . Серединный перпендикуляр к отрезку пересекает стороны и в точках и соответственно.
а) Докажите, что .
б) Найдите отношение площадей треугольников и , если .

В остроугольном треугольнике высоты , и пересекаются в точке . Через точку параллельно высоте проведена прямая, пересекающая высоту в точке .
а) Докажите, что .
б) Найдите отношение площадей треугольников и , если , , .

На стороне треугольника отмечена точка так, что . Биссектриса треугольника пересекает прямую в точке . Из точки на прямую опущен перпендикуляр .
а) Докажите, что .
б) Найдите отношение площади треугольника к площади четырёхугольника , если .

В треугольнике угол равен , отрезки и — высота и медиана соответственно, причём точка лежит на отрезке . Отрезок — высота треугольника , а прямые и пересекаются в точке . Известно, что луч — биссектриса угла .
а) Докажите, что треугольник прямоугольный.
b) Найдите площадь треугольника , если .

В параллелограмме угол вдвое больше угла . Биссектриса угла пересекает отрезок в точке . На продолжении стороны за точку выбрана такая точка , что .
а) Докажите, что .
б) Найдите , если , .

Прямая, перпендикулярная стороне ромба , пересекает его диагональ в точке , а диагональ в точке , причём , .
а) Докажите, что .
б) Найдите площадь ромба, если .

Прямая, перпендикулярная стороне ромба , пересекает его диагональ в точке , а диагональ в точке , причём , .
а) Докажите, что прямая делит сторону ромба в отношении .
б) Найдите сторону ромба, если .

На сторонах , и треугольника отмечены точки , и соответственно, причём , , . Отрезки и пересекаются в точке .
а) Докажите, что четырёхугольник — параллелограмм.
б) Найдите , если отрезки и перпендикулярны, , .

Прямая, проходящая через вершину прямоугольника перпендикулярно диагонали , пересекает сторону в точке , равноудалённой от вершин и .
а) Докажите, что .
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой , если .

В параллелограмме с острым углом из вершины проведены высоты и , причём точка лежит на стороне , а точка — на стороне . На стороне отмечена точка . Известно, что , .
а) Докажите, что .
б) Найдите площадь треугольника , если , .

Дана трапеция с основаниями и . Диагональ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями и .
а) Докажите, что луч — биссектриса угла .
б) Найдите , если известны диагонали трапеции: и .

Дана трапеция с основаниями и . Диагональ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями и .
а) Докажите, что луч — биссектриса угла .
б) Найдите , если известны диагонали трапеции: и .

Точка — середина боковой стороны трапеции . На стороне взяли точку так, что прямые и параллельны. Отрезки и пересекаются в точке .
а) Докажите, что .
б) Найдите отношение оснований трапеции и , если площадь треугольника составляет площади трапеции .

В трапеции основание в два раза больше основания . Внутри трапеции взяли точку так, что углы и прямые.
а) Докажите, что .
б) Найдите угол , если угол равен , а расстояние от точки до прямой равно стороне .

В равнобедренной трапеции основание в три раза больше основания .
а) Докажите, что высота трапеции разбивает основание на отрезки, один из которых вдвое больше другого.
б) Найдите расстояние от вершины до середины диагонали , если и .

В равнобедренной трапеции основание в два раза больше основания .
а) Докажите, что высота трапеции разбивает основание на отрезки, один из которых втрое больше другого.
б) Пусть — точка пересечения диагоналей трапеции . Найдите расстояние от вершины до середины отрезка , если и .

Биссектрисы углов и равнобедренной трапеции пересекаются в точке . На боковых сторонах и отмечены точки и соответственно так, что , .
а) Докажите, что точки , и лежат на одной прямой.
б) Найдите отношение , если и .

Биссектрисы углов и равнобедренной трапеции пересекаются в точке . Через точку провели прямую, параллельную основаниям и .
а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой стороне.
б) Найдите отношение длин оснований трапеции, если и данная прямая делит сторону в отношении .

Сумма оснований трапеции равна , а её диагонали равны и .
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.

Окружность проходит через вершины и треугольника и пересекает и в точках и соответственно.
а) Докажите, что треугольник подобен треугольнику .
б) Вычислите радиус данной окружности, если , и площадь треугольника в восемь раз меньше площади четырёхугольника .

Окружность проходит через вершины и треугольника и пересекает и в точках и соответственно.
а) Докажите, что треугольник подобен треугольнику .
б) Вычислите радиус данной окружности, если , и площадь треугольника в семь раз меньше площади четырёхугольника .

Окружность проходит через вершины и треугольника и пересекает и в точках и соответственно.
а) Докажите, что треугольник подобен треугольнику .
б) Вычислите радиус данной окружности, если , и площадь треугольника в три раза меньше площади четырёхугольника .

Окружность проходит через вершины и параллелограмма , пересекает продолжение стороны за точку в точке и пересекает продолжение стороны за точку в точке .
а) Докажите, что .
б) Найдите отношение , если .

Окружность проходит через вершины и параллелограмма , пересекает сторону в точках и и пересекает продолжение стороны за точку в точке .
а) Докажите, что .
б) Найдите отношение , если .

Окружность проходит через вершины и параллелограмма , пересекает сторону в точках и и пересекает сторону в точках и .
а) Докажите, что .
б) Найдите , если , и .

Окружность проходит через вершины и параллелограмма , пересекает сторону в точках и и пересекает продолжение стороны за точку в точке .
а) Докажите, что .
б) Найдите отношение , если , а .

В треугольнике точки и — середины сторон и соответственно, — высота, , .
а) Докажите, что точки и лежат на одной окружности.
б) Найдите , если .

В треугольнике точки и — середины сторон и соответственно, — высота, , .
а) Докажите, что точки и лежат на одной окружности.
б) Найдите , если .

В треугольнике точки и — середины сторон и соответственно, — высота, , .
а) Докажите, что точки и лежат на одной окружности.
б) Найдите , если .

В треугольнике точки и — середины сторон и соответственно, — высота, , .
а) Докажите, что точки и лежат на одной окружности.
б) Найдите , если .

На сторонах , и треугольника отмечены точки и соответственно, причём , , . Отрезки и пересекаются в точке .
а) Докажите, что четырёхугольник — параллелограмм.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если отрезки и перпендикулярны, , .

В треугольнике угол равен . Прямые, содержащие высоты и треугольника , пересекаются в точке . Точка — центр окружности, описанной около треугольника .
а) Докажите, что .
б) Найдите площадь треугольника , если , .

В треугольнике угол равен . Прямые, содержащие высоты и треугольника , пересекаются в точке . Точка — центр окружности, описанной около треугольника .
а) Докажите, что .
б) Найдите площадь треугольника , если , .

Четырёхугольник вписан в окружность радиуса . Известно, что .
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите .

Точки делят стороны выпуклого четырёхугольника в отношении , радиус окружности, описанной около треугольника , равен , , , угол — острый.
а) Докажите, что треугольник — прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника .

В треугольнике продолжения высоты и биссектрисы пересекают описанную окружность в точках и соответственно, , .
а) Докажите, что .
б) Прямые и пересекаются в точке . Найдите площадь треугольника , если его высота равна .

Окружность с центром в точке высекает на всех сторонах трапеции равные хорды.
а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.
б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону в точках и так, что , , .

Пятиугольник вписан в окружность. Диагонали и пересекаются в точке . Известно, что — параллелограмм.
а) Докажите, что .
б) Найдите длину стороны , если известно, что , , и .

Пятиугольник вписан в окружность. Известно, что , .
а) Докажите, что .
б) Найдите длину диагонали , если .

В трапеции угол прямой. Окружность, построенная на большем основании как на диаметре, пересекает меньшее основание в точках и .
а) Докажите, что .
б) Диагонали трапеции пересекаются в точке . Найдите площадь треугольника , если , а .

Высоты и остроугольного треугольника пересекаются в точке .
а) Докажите, что .
б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника , до стороны , если и .

В квадрате точки и — середины сторон и соответственно. Отрезки и пересекаются в точке .
а) Докажите, что .
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если сторона .

В остроугольном треугольнике угол в два раза больше угла . Точка — центр окружности, описанной около треугольника . Окружность, описанная около треугольника , пересекает отрезок в точках и .
а) Докажите, что .
б) Найдите длину стороны , если , .

В остроугольном треугольнике угол в два раза больше угла . Точка — центр окружности, описанной около треугольника . Окружность, описанная около треугольника , пересекает отрезок в точках и .
а) Докажите, что треугольники и подобны.
б) Найдите длину стороны , если , .

Диагонали равнобедренной трапеции с основаниями и перпендикулярны. Окружность с диаметром пересекает боковую сторону в точке , а окружность с диаметром пересекает основание в точке . Отрезки и пересекаются в точке .
а) Докажите, что в четырёхугольник можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если , .

Диагонали равнобедренной трапеции с основаниями и перпендикулярны. Окружность с диаметром пересекает боковую сторону в точке , а окружность с диаметром пересекает основание в точке . Отрезки и пересекаются в точке .
а) Докажите, что в четырёхугольник можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если , .