ege-task-14

В кубе точки и — середины рёбер и соответственно.
а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.
б) Плоскость проходит через точки и параллельно прямой . Найдите расстояние от точки до плоскости , если .

В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер: , , . На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём и . Точка — середина ребра .
а) Докажите, что плоскость проходит через точку .
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью .

В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер: , , . На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём и . Точка — середина ребра .
а) Докажите, что плоскость проходит через точку .
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью .

На ребре прямоугольного параллелепипеда взята точка так, что , на ребре — точка так, что , а точка — середина ребра . Известно, что , , .
а) Докажите, что плоскость проходит через вершину .
б) Найдите угол между плоскостью и плоскостью .

В прямоугольном параллелепипеде через середину диагонали проведена плоскость перпендикулярно этой диагонали, , , .
а) Докажите, что плоскость содержит точку .
б) Найдите отношение, в котором плоскость делит ребро , считая от вершины .

Сечением прямоугольного параллелепипеда плоскостью , содержащей прямую и параллельной прямой , является ромб.
а) Докажите, что грань — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями и , если , .

Сечением прямоугольного параллелепипеда плоскостью , содержащей прямую и параллельной прямой , является ромб.
а) Докажите, что грань — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями и , если , .

В правильной треугольной призме сторона основания равна , а боковое ребро равно . На ребре отмечена точка , причём .
а) Точки и — центры окружностей, описанных около треугольников и соответственно. Докажите, что прямая содержит точку пересечения медиан треугольника .
б) Найдите расстояние от точки до плоскости .

В правильной треугольной призме известно, что . Плоскость проходит через вершины и и середину ребра .
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью является равнобедренным треугольником.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью равна .

В правильной треугольной призме отметили точки и на рёбрах и соответственно. Известно, что , . Через точки и провели плоскость перпендикулярно грани .
а) Докажите, что плоскость проходит через вершину .
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью , если все рёбра призмы равны .

В правильной треугольной призме все рёбра равны, на ребре отмечена точка . Известно, что . Через точки и провели плоскость перпендикулярно грани .
а) Докажите, что плоскость делит ребро пополам.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы плоскостью равна .

Дана правильная четырёхугольная призма . Плоскость проходит через вершины и и пересекает рёбра и в точках и соответственно. Известно, что четырёхугольник — ромб.
а) Докажите, что точка — середина ребра .
б) Найдите высоту призмы , если площадь её основания равна , а площадь ромба равна .

В основании прямой треугольной призмы лежит равнобедренный () треугольник . Точка — середина ребра , а точка делит ребро в отношении .
а) Докажите, что .
б) Найдите угол между прямой и плоскостью , если , и .

В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с основанием . Точка делит ребро в отношении , а точка — середина ребра . Через середину ребра провели плоскость , перпендикулярную отрезку .
а) Докажите, что плоскость параллельна ребру .
б) Найдите отношение, в котором плоскость делит отрезок , считая от точки , если известно, что , , .

В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с основанием . Точка делит ребро в отношении , а точка — середина ребра . Через середину ребра провели плоскость , перпендикулярную отрезку .
а) Докажите, что плоскость делит ребро пополам.
б) Найдите отношение, в котором плоскость делит ребро , считая от точки , если известно, что , .

В основании прямой призмы лежит параллелограмм с углом при вершине . На рёбрах , и отмечены точки , и соответственно так, что четырёхугольник — равнобедренная трапеция с основаниями и .
а) Докажите, что точка — середина ребра .
б) Найдите высоту призмы, если её объём равен и известно, что точка делит ребро в отношении .

В основании прямой призмы лежит параллелограмм . На рёбрах , и отмечены точки , и соответственно, причём . Четырёхугольник — равнобедренная трапеция с основаниями и .
а) Докажите, что точка — середина ребра .
б) Найдите площадь трапеции , если объём призмы равен , а высота призмы равна .

В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция с основаниями и . Точка делит ребро в отношении , а точка — середина ребра .
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой .
б) Найдите тангенс угла между плоскостью и плоскостью основания призмы, если , .

В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция с основаниями и . Точка делит ребро в отношении , а точка — середина ребра .
а) Докажите, что плоскость делит отрезок пополам.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью , если , .

В правильном тетраэдре точки и — середины рёбер и соответственно. Плоскость перпендикулярна прямой и пересекает ребро в точке .
а) Докажите, что прямая перпендикулярна рёбрам и .
б) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью , если известно, что , .

В пирамиде рёбра , и попарно перпендикулярны, а .
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Найдите расстояние от точки до плоскости .

В пирамиде рёбра , и попарно перпендикулярны, а .
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Найдите площадь сечения .

В основании правильной треугольной пирамиды лежит треугольник со стороной, равной . Боковое ребро пирамиды равно . На ребре отмечена точка так, что . Через точку параллельно прямым и проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит треугольник со стороной, равной . Боковое ребро пирамиды равно . На ребре отмечена точка так, что . Через точку параллельно прямым и проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.

В правильной треугольной пирамиде с основанием точки и — середины рёбер и соответственно, а точки и отмечены на рёбрах и соответственно так, что отрезки и пересекаются, а .
а) Докажите, что прямые , и пересекаются в одной точке.
б) Найдите отношение .

В правильной треугольной пирамиде с основанием точки и — середины рёбер и соответственно. На продолжении ребра за точку отмечена точка . Прямые и пересекают рёбра и в точках и соответственно, причём .
а) Докажите, что прямые и пересекаются.
б) Найдите отношение .

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна , а боковое ребро равно . На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём , .
а) Докажите, что плоскость перпендикулярна плоскости .
б) Найдите объём пирамиды .

На рёбрах и треугольной пирамиды отмечены точки и соответственно, причём . Точки и — середины рёбер и соответственно.
а) Докажите, что точки и лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость разбивает пирамиду.

На рёбрах и тетраэдра отмечены точки и соответственно, причём . Четырёхугольник — квадрат со стороной .
а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от вершины до плоскости , если объём тетраэдра равен .

На рёбрах , и правильного тетраэдра отмечены точки , и соответственно. Известно, что .
а) Докажите, что плоскость , проходящая через точки , делит ребро в отношении , считая от вершины .
б) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью , если .

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды с основанием равны . Точка — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой и проходящая через точку , пересекает рёбра и в точках и соответственно. Точка делит ребро в отношении .
а) Докажите, что точка — середина ребра .
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость пересекает грань .

Плоскость перпендикулярна плоскости основания правильной четырёхугольной пирамиды и пересекает ребро в точке . Сечение пирамиды плоскостью является правильным треугольником площадью .
а) Докажите, что плоскость перпендикулярна прямой .
б) В каком отношении точка делит ребро , считая от точки , если объём пирамиды равен ?

В правильной четырёхугольной пирамиде известно, что . Через точку пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру провели плоскость .
а) Докажите, что плоскость проходит через вершины и .
б) В каком отношении плоскость делит ребро , считая от вершины , если площадь сечения равна ?

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна , а боковое ребро равно . На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём , .
а) Докажите, что плоскость перпендикулярна плоскости .
б) Найдите объём пирамиды .

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна , а боковое ребро равно . На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём , . Плоскость перпендикулярна плоскости и содержит точки и .
а) Докажите, что плоскость содержит точку .
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью .

Точка — середина бокового ребра правильной четырёхугольной пирамиды . Точка лежит на стороне основания . Плоскость проходит через точки и параллельно боковому ребру .
а) Плоскость пересекает боковое ребро в точке . Докажите, что .
б) Плоскость делит пирамиду на два многогранника. Найдите отношение их объёмов, если .

На ребре правильной четырёхугольной пирамиды с основанием отмечена точка , причём . Точки и — середины рёбер и соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость разбивает пирамиду.

Точка — середина ребра правильной четырёхугольной пирамиды с основанием . Точка лежит на ребре , .
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой .
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью , если все рёбра пирамиды равны .

В правильной четырёхугольной пирамиде с основанием точка — центр основания пирамиды, точка — середина ребра , точка делит ребро в отношении , а и .
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой .
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость пересекает грань .

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна , а боковое ребро равно . На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Плоскость содержит прямую и параллельна прямой .
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой .
б) Найдите угол между плоскостями и .

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна , а боковое ребро равно . На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Плоскость содержит прямую и параллельна прямой .
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой .
б) Найдите угол между плоскостями и .

В правильной четырёхугольной пирамиде через ребро провели плоскость , образующую сечение , где точки и — точки пересечения плоскости с боковыми рёбрами и соответственно. Известно, что .
а) Докажите, что точки и делят рёбра и в отношении , считая от вершины .
б) Найдите косинус угла между плоскостью основания и плоскостью .

В основании пирамиды лежит прямоугольник со стороной и диагональю . Все боковые рёбра пирамиды равны . На диагонали основания отмечена точка , а на ребре — точка так, что .
а) Докажите, что плоскость параллельна ребру .
б) Плоскость пересекает ребро в точке . Найдите расстояние от точки до плоскости .