1. Множества

Замечание: При решении задачи 1.16 полезны следующие утверждения:

1. $A\subseteq B⟺A\overline{B}=\varnothing$
2. $A=B⟺A\otimes B=\varnothing$

1.16 С помощью диаграмм Венна выясните, равносильны ли следующие системы условий:

$$1)\{\begin{array}{l}X\subseteq Z\subseteq \overline{W}\\ Y\subseteq W\\ X\cup Y=Z\cup W\end{array}\text{и}\{\begin{array}{l}X=Z\\ Y=W\end{array}$$

Решение

Рассмотрим первую систему.

1. $X\subseteq Z\subseteq \overline{W}⟹X\subseteq Z,Z\subseteq \overline{W}⟹\boxed{X\overline{Z}=\varnothing },\boxed{ZW=\varnothing }.$
2. $Y\subseteq W⟹\boxed{Y\overline{W}=\varnothing }.$
3. $X\cup Y=Z\cup W⟹(X\cup Y)\otimes (Z\cup W)=\varnothing ⟹((X\cup Y)(\overline{Z\cup W}))\cup (((\overline{X\cup Y})(Z\cup W))=\varnothing$
   $((X\cup Y)\overline{Z}\overline{W})\cup (\overline{X}\overline{Y}(Z\cup W))=\varnothing ⟹X\overline{Z}\overline{W}\cup Y\overline{Z}\overline{W}\cup \overline{X}\overline{Y}Z\cup \overline{X}\overline{Y}W=\varnothing$
   $\boxed{X\overline{Z}\overline{W}=\varnothing },\boxed{Y\overline{Z}\overline{W}=\varnothing },\boxed{\overline{X}\overline{Y}Z=\varnothing },\boxed{\overline{X}\overline{Y}W=\varnothing }.$

Отметим все полученные условия на диаграмме Венна:

Рассмотрим вторую систему.

1. $X=Z⟹X\otimes Z=\varnothing ⟹X\overline{Z}\cup \overline{X}Z=\varnothing ⟹\boxed{X\overline{Z}=\varnothing },\boxed{\overline{X}Z=\varnothing }.$

2. $Y=W⟹Y\otimes W=\varnothing ⟹Y\overline{W}\cup \overline{Y}W=\varnothing ⟹\boxed{Y\overline{W}=\varnothing },\boxed{\overline{Y}W=\varnothing }.$

Отметим все полученные условия на диаграмме Венна:

Видим, что таблицы этих систем не равны, следовательно, системы условий не равносильны.

$$2)\{\begin{array}{l}C\otimes D\subseteq A\\ B\cup D\subseteq A\cup C\\ A-D\subseteq C-B\end{array}\text{и}\{\begin{array}{l}\overline{A}\subseteq CD\\ B-C\subseteq \overline{A}\\ A\subseteq C\cup D\end{array}$$

Решение

Рассмотрим первую систему.

1. $C\otimes D\subseteq A⟹(C\otimes D)\overline{A}=\varnothing ⟹(C\overline{D}\cup \overline{C}D)\overline{A}=\varnothing ⟹C\overline{D}\overline{A}\cup \overline{C}D\overline{A}=\varnothing$
   $⟹\boxed{C\overline{D}\overline{A}=\varnothing },\boxed{\overline{C}D\overline{A}=\varnothing }.$

2. $B\cup D\subseteq A\cup C⟹(B\cup D)(\overline{A\cup C})=\varnothing ⟹(B\cup D)(\overline{A}\overline{C})=\varnothing ⟹B\overline{A}\overline{C}\cup D\overline{A}\overline{C}=\varnothing$
   $⟹\boxed{B\overline{A}\overline{C}=\varnothing },\boxed{D\overline{A}\overline{C}=\varnothing }.$

3. $A-D\subseteq C-B⟹(A-D)(\overline{C-B})=\varnothing ⟹(A\overline{D})(\overline{C\overline{B}})=\varnothing ⟹(A\overline{D})(\overline{C}\cup B)=\varnothing$
   $⟹A\overline{D}\overline{C}\cup A\overline{D}B=\varnothing ⟹\boxed{A\overline{D}\overline{C}=\varnothing },\boxed{A\overline{D}B=\varnothing }.$

Отметим все полученные условия на диаграмме Венна:

Рассмотрим вторую систему.

1. $$\begin{gathered} \overline{A}\subseteq CD⟹\overline{A}(\overline{CD})=\varnothing ⟹\overline{A}(\overline{C}\cup \overline{D})=\varnothing ⟹\overline{A}\overline{C}\cup \overline{A}\overline{D}=\varnothing ⟹ \\ \boxed{\overline{A}\overline{C}=\varnothing },\boxed{\overline{A}\overline{D}=\varnothing }. \end{gathered}$$
2. $B-C\subseteq \overline{A}⟹(B-C)A=\varnothing ⟹\boxed{B\overline{C}A=\varnothing }.$
3. $A\subseteq C\cup D⟹A(\overline{C\cup D})=\varnothing ⟹\boxed{A\overline{C}\overline{D}=\varnothing }.$

Отметим все полученные условия на диаграмме Венна:

Видим, что таблицы этих систем не равны, следовательно, системы условий не равносильны.

$$3)\{\begin{array}{l}A\subseteq C\otimes B\\ C\subseteq B\otimes D\\ AC\subseteq B-D\end{array}\text{и}\{\begin{array}{l}B\subseteq \overline{CD}\\ C-D\subseteq B\\ AC\subseteq D\\ A-B\subseteq BC\end{array}$$

Решение

Рассмотрим первую систему.

1. $$\begin{gathered} A\subseteq C\otimes B⟹A(\overline{C\otimes B})=\varnothing ⟹A(\overline{C\overline{B}\cup \overline{C}B})⟹A\left(\overline{C\overline{B}}\overline{\overline{C}B}\right)=\varnothing ⟹A((\overline{C}\cup B)(C\cup \overline{B}))=\varnothing ⟹ \\ A(\overline{C}C\cup \overline{C}\overline{B}\cup BC\cup B\overline{B})=\varnothing ⟹A(\overline{C}\overline{B}\cup BC)=\varnothing ⟹A\overline{C}\overline{B}\cup ABC=\varnothing ⟹\boxed{A\overline{C}\overline{B}=\varnothing },\boxed{ABC=\varnothing }. \end{gathered}$$
2. $$\begin{gathered} C\subseteq B\otimes D⟹C(\overline{B\otimes D})=\varnothing ⟹C(\overline{B\overline{D}\cup \overline{B}D})⟹C\left(\overline{B\overline{D}}\overline{\overline{B}D}\right)=\varnothing ⟹C((\overline{B}\cup D)(B\cup \overline{D}))=\varnothing ⟹ \\ C(\overline{B}B\cup \overline{B}\overline{D}\cup DB\cup D\overline{D})=\varnothing ⟹C(\overline{B}\overline{D}\cup BD)=\varnothing ⟹C\overline{B}\overline{D}\cup CBD=\varnothing ⟹\boxed{C\overline{B}\overline{D}=\varnothing },\boxed{CBD=\varnothing }. \end{gathered}$$
3. $$\begin{gathered} AC\subseteq B-D⟹AC(\overline{B-D})=\varnothing ⟹AC(\overline{B\overline{D}})=\varnothing ⟹AC(\overline{B}\cup D)=\varnothing ⟹ \\ AC\overline{B}\cup ACD=\varnothing ⟹\boxed{AC\overline{B}=\varnothing },\boxed{ACD=\varnothing }. \end{gathered}$$

Отметим все полученные условия на диаграмме Венна:

Рассмотрим вторую систему.

1. $B\subseteq \overline{CD}⟹\boxed{BCD=\varnothing }.$
2. $C-D\subseteq B⟹(C-D)\overline{B}=\varnothing ⟹\boxed{C\overline{D}\overline{B}=\varnothing }.$
3. $AC\subseteq D⟹\boxed{AC\overline{D}=\varnothing }.$
4. $$\begin{gathered} A-B\subseteq BC⟹(A-B)\overline{BC}=\varnothing ⟹(A\overline{B})(\overline{B}\cup \overline{C})=\varnothing ⟹A\overline{B}\overline{B}\cup A\overline{B}\overline{C}=\varnothing ⟹ \\ \boxed{A\overline{B}=\varnothing },\boxed{A\overline{B}\overline{C}=\varnothing }. \end{gathered}$$

Отметим все полученные условия на диаграмме Венна:

Видим, что таблицы этих систем равны, следовательно, системы условий равносильны.